(1) имхо просто не получится. В ДО такой задачи не стояло, в другой конфе было дело. Ситуацию мог бы решить прием почты на основе ПолучитьЗаголовки(<ПараметрыОтбора>), но ключ Новые или Прочитанные не работает: качующий баг платформы.
В этой связи (2) очень даже хорошее решение.
Тоже столкнулся с данной проблемой в конфигурации Документооборот государственного учреждения. Что если создать правило для пересылки новых входящих писем на другой эл. ящик и уже эту учетку подключить к 1С. Как вы решили данную проблему?
Еще как вариант пользоваться версией платформы 8.2.16.* или 8.3.* в этих версиях работает метод интернетпочта.ПолучитьЗаголовки(). А затем выбрать нужные заголовки например по дате отправки или теме и после этого загрузить содержимое письма.
Заголовки =Соединение.ПолучитьЗаголовки();
Иды=Новый Массив;
Для Каждого заголовок из Заголовки Цикл
Если заголовок.Датаотправления>=Дата("20131230000000") Тогда
иды.Добавить(заголовок)
КонецЕсли;
КонецЦикла;