По теме из базы знаний
Ответы
Подписаться на ответы
Инфостарт бот
Сортировка:
Древо развёрнутое
Свернуть все
Задача Герона.
Треугольники, у которых длины сторон и площадь являются
целыми числами, называются треугольниками Герона. Он рассматривал треугольники со сторонами 13,14,15 и 5,12,13, площади которых соответственно равны 84 и 30.
Задача. Найти целочисленные стороны треугольника, чтобы площадь его была также целочисленна.
Решение.
I способ.
Теорема. Если стороны треугольника a,b.c и a=mk+nl, b=ml+nk, c=(m-n)(k+l ) или, c=(m+n)(k-l) а произведение целочисленных компонент m, n, k, l, является квадратом какого-либо числа (q2=mnkl 1), то площадь треугольника целочисленна.
Следствие 1. Если отношение компонент или , то треугольник прямоугольный.
Следствие 2. Если компоненты m=n или k=l, то треугольник равнобедренный.
Следствие 3. Если компоненты m=n и k=l, то решения нет, т. е. не существует равнобедренных прямоугольных треугольников с целочисленными площадью и сторонами.
Следствие 4. Величины сторон треугольника ограничены снизу, верхнего ограничения величин сторон нет.
Наименьшие треугольники (q=2): прямоугольный со сторонами 3, 4. 5; равнобедренный со сторонами 5, 5, 6.
1. Число q представляется в виде произведения простых множителей.
2. Составляется спектр матриц по q2:
3. Определяется по матрице вид треугольника (прямоугольный, равнобедренный, косоугольный) и проводится вычисление сторон и площади треугольника по формулам:
, , ,
; ,
.
Ввиду того, что сторона выражена двумя равенствами, результатом решения фактически являются два косоугольных треугольника с одинаковыми двумя сторонами ( и ) и разными третьими ( и ).
Например, а = 15, b=13, с = (4; 14), что соответствует паре треугольников со сторонами 4, 13, 15 и 14, 13, 15.
Для прямоугольных треугольников с1=с2, для равнобедренных с1=с, с2= 0 или наоборот. 9
Пример.
1. q2=62=32*22.
2. Спектр матриц по q2=62
3. Вычисление сторон:
=9*2+2*1=20, =9*1+2*2=13,
=11*1=11, =7*3=21,
22, =6*11= =66,
27, =6*21= =126,
Треугольники: . Площади: =66 и =126.
В результате решения всего спектра матриц получается группа треугольников по q= 6.
Б.Потапов.
«Математика в школе» № 2,1995.
способ.
Далее используем иное строение ключевого параметра q=n12- n22, n1,n2 произвольные натуральные числа. Любая пара (m1, m2) возможных натуральных множителей числа q порождает одну или две героновые
тетрады (a1,b,c,S1) и (a2,b,c,S2) по формулам:
и , ,
, , .
Пример. Пусть = 5, =3. Тогда q=25-9=16=16*1=8*2=4*4.
Для =16, =1 имеем: a1= 6*17 = 102, a2=10*15=150. b=85-45=40, c=85+45=130.
Уменьшал пропорционально полученные размеры сторон, образуем две тетрады: (51; 20; 65; =408) и (15; 4; 13; = 24). Для =8, = 2 и = =4 получаем по одной тетраде (15; 8; 17; =60) и (6; 5; 5; =12).
10
способ.
Имеются ещё формулы, производящие героновы тетрады:
, ,
и получающиеся из них выражения для p и S:
, .
Параметрам где , можно придавать произвольные натуральные значения. Параметр играет роль коэффициента подобия.
Так, например, при , формулы про изводят триаду ( ) и при = 1/2 - геронову триаду из взаимно простых чисел (a;b;c)=(5; 5; 8).
Однако эти формулы все же не обеспечивают весь ряд героновых тетрад на множестве натуральных и даже рациональных значений . Так, тетраду (15; 26; 37;156) можно получить только при иррациональных значениях параметров, например, при , , и .
А теперь рассмотрим решение уравнения S= . Предположим, что стороны а, b, с и площадь S косоугольного треугольника АВС - рациональные числа, причем а<b< с вследствие чего, равно как и в случае a=b, углы А и В - острые.
Из теоремы косинусов и формулы площади следует, что косинусы и синусы углов такого треугольника также рациональны. Если, например,
, , то , .
где m>1, n>1 - рациональные числа. Тогда по теореме синусов
, откуда, например, , ,где t-коэффициент подобия. Далее, откуда и .
Общность решений уравнения S= в рациональных числах следует из того, что для любых рациональных а, b, с и S, удовлетворяющих этому уравнению, всегда существуют такие рациональные значения m, n и t, при которых по формулам получаются именно эти числа а, b, с, и S.
В самом деле, по заданным а,b, с и S однозначно определяются
, , , .
В то же время , , откуда , , .
11
Пример. Дано: а=15, b=26, c=37, S=156. Найти подходящие значения для n,m, и t.
Вычисляем: , , m=6, , .
Проверка. По формулам находим: , аналогично b=26, с=37, S=156.
Теперь для получения формул, производящих все возможные героновы тетрады непосредственно при натуральных значениях параметров и соответствующем выборе коэффициента подобия, достаточно в (1) и (2) заменить m на m/n, n на p/q (m,n,p,q ) и положить где коэффициент подобия . Тогда , , , , где mp>nq.
Б.Кордемский «Математика в школе» №4,1984.
IV Способ.
Существует красивое геометрическое решение задачи Герона.
Рассмотрим произвольный Геронов треугольник, в котором проведем высоту с основанием, принадлежащем стороне треугольника, а не её продолжению (такая высота существует в любом треугольнике). Высота геронова треугольника, вообще говоря, число дробное, поэтому возьмем Геронов треугольник, подобный первоначальному, высота которого выражается натуральным числом. Нетрудно доказать, что длины отрезков x и y, на которые высота разбивает сторону c,-натуральные числа. Из рисунка следует равенство:
Обозначив для краткости , , где и - натуральные числа, получим равенство . Уединим радикал и возведем последнее равенство в квадрат. В результате имеем:
.
12
Это равенство возможно только в том случае, если -квадрат натурального числа. Аналогично убеждаемся, что и -квадрат натурального числа.
Таким образом, геронов треугольник оказался разбитым на два пифагоровых. Учитывая, что - их общий катет, по формулам пифагоровых троек имеем:
, , , ,
.
Тогда и площадь
.
Формулы , , не определяют героновых треугольников с дробными высотами. Чтобы получить все героновы треугольники, введем в последние формулы рациональный коэффициент подобия (что возможно, так как мы рассматриваем геронов треугольник, подобный первоначальному). Итак, следующие формулы дают героновы тройки:
, , где m,n,p,q,-любые натуральные числа, удовлетворяющие условию mp>nq, -все рациональные числа такие, что a,b,c-натуральные. Площадь геронова треугольника
.
Равнобедренный прямоугольный треугольник: длины катетов = 77227930, длина гипотенузы = 109216786.
Сумма квадратов катетов равно квадрату гипотенузы.
решается простым циклом в 1с
Для а=1 по 10000000000 цикл
у=sqrt(2*а*а);
Если (Цел(у)-у)=0 тогда
Сообщить(строка(у)+" ;"+строка(а));
КонецЕсли;
КонецЦикла;
Сумма квадратов катетов равно квадрату гипотенузы.
решается простым циклом в 1с
Для а=1 по 10000000000 цикл
у=sqrt(2*а*а);
Если (Цел(у)-у)=0 тогда
Сообщить(строка(у)+" ;"+строка(а));
КонецЕсли;
КонецЦикла;
Для получения уведомлений об ответах подключите телеграм бот:
Инфостарт бот