Простые алгоритмы численного интегрирования

25.11.14

Разработка - Универсальные функции

Представлены программы (без теории) на языке 1С8 для вычисления определенных интегралов по методам левых, правых и средних прямоугольников, методу трапеций и Симпсона. Статья может быть интересной для тех, кто не знал или подзабыл простые способы вычисления интегралов.

Подробное изложение теоретической части алгоритмов и численного интегрирования вообще, можно найти практически в любой книге о численных методах, например - Е. А. Волков "Численные методы", ну или в Википедии -"https://ru.wikipedia.org/wiki/Численное_интегрирование". Особое внимание нужно уделить вопросам выбора узлов и шага интегрирования, обеспечения требуемой точности вычислений, а также применимости и целесообразности выбора того или другого метода.  

 

В качестве подинегральной функции рассмотрим "обычную" гладкую и непрерывную функцию (одного аргумента):

Функция Функция_1(х)
	Возврат х*х;
КонецФункции	

Так будет выглядеть вызов расчетных функций:

Процедура ВыполнитьРасчет()
	Число_шагов = 100; 	
	Х_нач 	= 0; 
	Х_кон 	= 5; 
	Сообщить("Метод левых прямоугольников	= " + РассчитатьЛевымиПрямоугольниками(Х_нач, Х_кон, Число_шагов));
	Сообщить("Метод правых прямоугольников	= " + РассчитатьПравымиПрямоугольниками(Х_нач, Х_кон, Число_шагов));
	Сообщить("Метод средних прямоугольников	= " + РассчитатьСреднимиПрямоугольниками(Х_нач, Х_кон, Число_шагов));
	Сообщить("Метод трапеций				= " + РассчитатьТрапециями(Х_нач, Х_кон, Число_шагов));
	Сообщить("Метод Симпсона				= " + РассчитатьСимпсона(Х_нач, Х_кон, Число_шагов));
КонецПроцедуры	

Таким образом, функция F(x)=x^2 интегрируется на интервале от Х_нач до Х_кон, число шагов фиксировано и равно 100 (вообще, для различных методов с целью обеспечения требуемой точности можно рассчитать минимально необходимое число шагов, но для наших ознакомительных целей берем именно фиксированное значение).

Важно также помнить, что при расчетах могут получаться числа с длинной дробной частью, работа с которыми занимает у 1С много времени и сильно тормозит вычисления. Поэтому, например, при определении функции имеет смысл вместо "Возврат F(X)" писать "Возврат Окр(F(X), 16)".

 

 

1) Метод левых прямоугольников:

Функция РассчитатьЛевымиПрямоугольниками(Х_нач, Х_кон, Число_шагов)
	Сумма = 0;
	h = (Х_кон-Х_нач)/Число_шагов;
	х = Х_нач;
	Для й=0 По Число_шагов-1 Цикл
		Сумма = Сумма + h*Функция_1(х);
		х = (х + h);
	КонецЦикла;	
	Возврат Сумма;
КонецФункции

2) Метод правых прямоугольников:

Функция РассчитатьПравымиПрямоугольниками(Х_нач, Х_кон, Число_шагов)
	Сумма = 0;
	h = (Х_кон-Х_нач)/Число_шагов;
	х = Х_кон;
	Для й=1 По Число_шагов Цикл
		Сумма = Сумма + h*Функция_1(х);
		х = (х - h);
	КонецЦикла;	
	Возврат Сумма;
КонецФункции

3) Метод средних прямоугольников:

Функция РассчитатьСреднимиПрямоугольниками(Х_нач, Х_кон, Число_шагов)
	Сумма = 0;
	h = (Х_кон-Х_нач)/Число_шагов;
	х = Х_нач;
	Для й=1 По Число_шагов Цикл
		Сумма = Сумма + Функция_1(х + 0.5*h);
		х = (х + h);
	КонецЦикла;	
	Возврат h*Сумма;
КонецФункции

4) Метод трапеций:

Функция РассчитатьТрапециями(Х_нач, Х_кон, Число_шагов)
	Сумма = 0;
	h = (Х_кон-Х_нач)/Число_шагов;
	х = Х_нач;
	Для й=0 По Число_шагов Цикл
		Если й=0 или й=Число_шагов Тогда
			Сумма = Сумма + 0.5*Функция_1(х);
		Иначе
			Сумма = Сумма + Функция_1(х);
		КонецЕсли;
		х = х + h;
	КонецЦикла;
	Возврат h*Сумма;
КонецФункции

5) Метод Симпсона:

Функция РассчитатьСимпсона(Х_нач, Х_кон, Число_шагов)
	Сумма = 0;
	h = (Х_кон-Х_нач)/Число_шагов;
	х = Х_нач;
	СуммаЧетных	= 0;
	СуммаНеЧетных = 0;
	Для й=0 По Число_шагов Цикл
		Если й=0 или й=Число_шагов Тогда
			Сумма = Сумма + Функция_1(х);
		Иначе
			Если й % 2 = 0 Тогда
				СуммаЧетных = СуммаЧетных + Функция_1(х);
			Иначе
				СуммаНеЧетных = СуммаНеЧетных + Функция_1(х);
			КонецЕсли;
		КонецЕсли;
		х = х + h;
	КонецЦикла;
	Возврат (h/3)*(Сумма + 2*СуммаЧетных + 4*СуммаНеЧетных);
КонецФункции

Итак, для рассматриваемого примера получились вот такие результаты:

Метод левых прямоугольников = 41,04375
Метод правых прямоугольников = 42,29375
Метод средних прямоугольников = 41,665625
Метод трапеций = 41,66875
Метод Симпсона = 41,6666666666666667

Точное же значение интеграла = 125/3 ~ 41,6(6). Чтож, неплохо. 

В завершении нужно отметить, что вообще различных методов интегрирования существует довольно много, тем не менее, на практике большинство задач можно с успехом решать и этими.

интегрирование метод прямоугольников метод трапеций метод Симпсона

См. также

Вставляем картинку из буфера обмена (платформа 1С 8.3.24)

Универсальные функции Платформа 1С v8.3 Конфигурации 1cv8 Абонемент ($m)

Задача: вставить картинку из буфера обмена на форму средствами платформы 1С.

1 стартмани

18.03.2024    2670    0    John_d    8    

54

GUID в 1С 8.3 - как с ними быть

Универсальные функции Платформа 1С v8.3 Конфигурации 1cv8 Бесплатно (free)

Пришлось помучиться с GUID-ами немного, решил поделиться опытом, мало ли кому пригодится.

12.02.2024    4607    atdonya    22    

45

Переоткрытие внешних обработок

Универсальные функции Платформа 1С v8.3 Бесплатно (free)

На заключительных этапах, когда идет отладка или доработка интерфейса, необходимо много раз переоткрыть внешний объект. Вот один из способов автоматизации этого.

30.11.2023    3961    ke.92@mail.ru    16    

61

Валидация JSON через XDTO (включая массивы)

WEB-интеграция Универсальные функции Механизмы платформы 1С Платформа 1С v8.3 Конфигурации 1cv8 Бесплатно (free)

При работе с интеграциями рано или поздно придется столкнуться с получением JSON файлов. И, конечно же, жизнь заставит проверять файлы перед тем, как записывать данные в БД.

28.08.2023    8821    YA_418728146    6    

141

Печать непроведенных документов для УТ, КА, ERP. Настройка печати по пользователям, документам и печатным формам

Пакетная печать Печатные формы Адаптация типовых решений Универсальные функции Платформа 1С v8.3 1С:ERP Управление предприятием 2 1С:Управление торговлей 11 1С:Комплексная автоматизация 2.х Россия Абонемент ($m)

Расширение для программ 1С:Управление торговлей, 1С:Комплексная автоматизация, 1С:ERP, которое позволяет распечатывать печатные формы для непроведенных документов. Можно настроить, каким пользователям, какие конкретные формы документов разрешено печатать без проведения документа.

2 стартмани

22.08.2023    2071    21    progmaster    7    

3

Расширение: Быстрые отборы через буфер [Alt+C] Копировать список, [Alt+V] Вставить список, [Ctrl+C] Копировать из файлов

Инструментарий разработчика Универсальные функции Платформа 1С v8.3 Конфигурации 1cv8 1С:Розница 2 1С:ERP Управление предприятием 2 1С:Бухгалтерия 3.0 1С:Управление торговлей 11 1С:Комплексная автоматизация 2.х 1С:Зарплата и Управление Персоналом 3.x Абонемент ($m)

Копирует в буфер значения из списков, из ячеек отчетов, таблиц, настроек списков, других отборов и вставляет в выбранную настройку отбора. Работает с Объект не найден. Работает как в одной так и между разными базами 1С. Использует комбинации [Alt+C] Копировать список, [Alt+V] Вставить список. Также для копирования данных используется стандартная [Ctrl+C] (например из открытого xls, mxl, doc и т.п. файла скопировать список наименований)

1 стартмани

13.10.2022    16143    133    sapervodichka    112    

129

Система контроля ведения учета [БСП]

Универсальные функции Механизмы типовых конфигураций БСП (Библиотека стандартных подсистем) Платформа 1С v8.3 Конфигурации 1cv8 Бесплатно (free)

В данном материале рассмотрим типовой алгоритм подсистемы контроля учета БСП в конфигурациях на примерах.

18.07.2022    7243    quazare    8    

109
Комментарии
В избранное Подписаться на ответы Сортировка: Древо развёрнутое
Свернуть все
1. Taktic 39 26.11.14 08:21 Сейчас в теме
О-да... незаменимая для 1С вещь - интегралы.
davay2000; +1 Ответить
4. DrAku1a 1679 27.11.14 02:36 Сейчас в теме
6. Gotcha 5 24.12.14 14:41 Сейчас в теме
(1) Taktic,
Спасибо, хоть вспомнил численные методы
10. eugeniezheludkov 43 26.12.14 03:00 Сейчас в теме
(1) Taktic, а чего вы смеетесь ? мне как то понадобилось реализовывать задачу где со слов заказчика "цена б/у товара меняется каждый день в зависимости от лежания на витрине, в сторону уменьшения, но не плавно, а сначала быстро, затем замедляется и совсем останавливается в течении полугода"... так вот Арктангенс решил эту задачку в одну строчку, а если-б понадобилось решать её в запросе то думаю через подаваемую таблицу рассчитанных арктангенсов в запрос, ну край если загрузить проц на сервере через ряды Макларена. думаю гдето могут и интегралы пригодиться, на вскидку: рассчитывать площади стекол для эксклюзивных оконных рам , изогнутых и тд., если это оконное предприятие. ПС 1/pow(х,2) не подошел
11. Идальго 226 26.12.14 08:12 Сейчас в теме
(10) eugeniezheludkov, почему не подошел f(x)=B + А/x^2 (где В - цена, ниже которой уже не опустится, А - влияет на изогнутость (скорость) уменьшения)? А почему арктангенс подошел я не понял, тогда уж 1/арктангенс, который в первой четверти как раз и напоминает предыдущую функцию. Или м.б. вообще что-то вроде f(x)=B+A/exp(x)
2. Михаил Козлов 111 26.11.14 10:53 Сейчас в теме
По поводу длинных дробных частей при арифметических операциях. Имеет смысл типизировать результат вычисления. Например, вместо массива лучше оперировать таблицей значений с одним типизированным столбцом.
И до кучи: проверял как-то метод Жордана-Гаусса для плохо обусловленной матрицы (система Горбунова). В свое время на Паскале для вещ. число с одинарной точностью получил, что метод давал правильное решение для размера матрицы = 18, для двойной точности - 23. В 1С метод был устойчив для размеров до 70.
3. Идальго 226 26.11.14 13:32 Сейчас в теме
(2) Михаил Козлов,
1. Да, именно из-за типизации такая штука.
2. Ну, если в 1с получалось точнее, то там наверно не одинарная точность была у чисел. А то, не совсем тогда ясна причина этого результата.
mr.Samuelson; +1 Ответить
5. Михаил Козлов 111 27.11.14 11:54 Сейчас в теме
(3) Идальго, Т.к. матрица было таб. частью обработки, то максимальная длина мантиссы - 32. Если через таблицу значений, то, вроде бы, - 64.
7. jobkostya1c_ERP 100 24.12.14 20:26 Сейчас в теме
Все публикации говорят что раз автор разбирается в высшей математике и не поленился переписать алгоритмы на 1С то в остальном разберется. Может, заодно и курсовой проект (лабу, зачет, экзамен) сдал :)
Потом только предметную область изучать не отвлекаясь на язык 1С.
8. Идальго 226 24.12.14 20:34 Сейчас в теме
(7) kostyaomsk, да нее ))) Давно это всё изучали, сейчас уже подзабыл, вот и решил освежить в памяти.
9. so-quest 140 25.12.14 14:19 Сейчас в теме
Одежды на тетке много. А так - плюс.
12. jobkostya1c_ERP 100 26.12.14 20:19 Сейчас в теме
Это уже из военного юмора. Слова отставного полковника или генерала "Мне, вашу мать, интеграл понадобился только чтоб из металла согнуть загогулину и что-то подцепить". Тут хоть куда-то арктангенс пригодился.
Оставьте свое сообщение